Bilangan Irasional dan Contoh

 Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan 

$\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dengan $b \neq 0$. Bilangan irasional memiliki representasi desimal yang tidak berulang dan tidak berakhir (tak terhingga). 

Contoh 1:

0,123456...  (Bilangan Irasional)

0,242424...  (Bilangan Rasional)

Contoh 2:

Buktikan bahwa √2 adalah bilangan irasional!

Bukti:

Langkah 1 : Asumsikan bahwa √2 adalah bilangan rasional

Misal

$p = \frac{x}{y}$

 dengan pembagi terbesar dari x dan y adalah 1, maka

        

Terlihat bahwa 

$$x^2 berupa\; bilangan\; genap\; karena\; terlihat\; dari\; ruas\; kanan\; apabila\; bilangan\; berapapun\; (genap/ganjil)\; dikalikan\; dengan\; 2,\; maka\; hasilnya\; genap.$$

Langkah 2: membuktikan bahwa genap untuk

$$x^2 + 2y^2$$

Jadi, karena x dan y merupakan bilangan genap maka $p = \frac{x}{y}$ dengan pembagi terbesar  dari x dan y adalah 1 merupakan kontradiksi.

Sehingga √2 adalah bilangan irasional.

 

Kontradiksi:bertentangan dengan asumsi.